Matemáticas

Álef y transfinitos

Por Llorenç Unió Puig.
El valor numérico de Álef (א) es uno. Es la primera letra del alfabeto hebreo, hecho que ha merecido un sinnúmero de comentarios. Incluso se ha dicho de ella, ya que es anterior a la Bet (ב), que “precede a la Torá”. Recordemos que la letra Bet (ב) es la primera letra de la Torá (Pentateuco o Cinco Libros de Moisés). Representa al Dios eterno. Su energía es intemporal, y se encuentra más allá de toda medida. Es el infinito.

Los cabalistas la consideran como la raíz espiritual de las demás letras, como si contuviera en su esencia a todo el alfabeto.

En el campo de las matemáticas, sucede que la mayoría de los matemáticos emplean letras latinas o griegas para sus desarrollos, fórmulas y cálculos. Sin embargo Georg Cantor – creador de la Teoría de Conjuntos-empleó una letra del alfabeto hebreo para designar un nuevo concepto.

Mediante la letra Álef (א), definió el concepto de א0, léase “Álef sub cero” o primer número cardinal transfinito. Este concepto describe el tamaño de determinados conjuntos infinitos, como por ejemplo el conjunto de todos los números pares, y el conjunto de todos los números impares.

De hecho, una de las principales innovaciones del matemático consistió en observar que existen conjuntos infinitos de diferentes tamaños y proceder a su estudio. Es decir, mostró que existen diferentes grados de infinitud.

Sin duda, atreverse a contar o enumerar lo infinito supuso un paso revolucionario, con grandes implicaciones matemáticas, filosóficas y hasta teológicas.

En una carta al también matemático alemán Felix Klein, Cantor explica la elección de la letra Álef (א) para su estudio del infinito:

“Hace años que considero imprescindible, fijar por medio de signos las potencias o números cardinales transfinitos, y por ello tras muchas vacilaciones, he recurrido a la primera letra del alfabeto hebreo Álef. Confío en que el público se familiarice pronto con ella…Y así he elegido finalmente Álef que en hebreo tiene el valor numérico uno.“

Georg Cantor nació en San Petersburgo (Rusia) en 1849. Hijo de un comerciante de origen danés. Su madre era de origen ruso-alemán, muy aficionada al arte y a la música. A los once años la familia se traslada a Frankfurt.

Sus estudios universitarios, iniciados en Zurich, fueron completados en Berlín, donde fue alumno, entre otros, de Karl Weirstraß y Leopold Kronecker. Inició su carrera docente en Halle.

En 1874, Georg se casó con Vally Guttman, una mujer de grandes inclinaciones artísticas. Con ella tuvo seis hijos, cuatro niñas y dos niños.

La personalidad de Cantor era llamativa: un hombre de gran intensidad, muy inteligente, de aficiones variadas, a quien el rigor matemático no coartó su libertad de pensamiento ni sus ansias especulativas. También se interesó por la religión.

Ya en sus años de estudiante sentía pasión por la metafísica, sobre todo por la del filósofo racionalista Baruch Spinoza. Según Spinoza la realidad entera está transida de infinito, toda realidad está formada de infinito y todo fenómeno real es la manifestación de una única sustancia real.

De la genialidad de Cantor hablan muchos autores, por ejemplo David Hilbert, otro destacado matemático (maestro de Norbert Wiener) daba cuenta de ello en una anécdota que ofreció a la hija Cantor, recién fallecido éste:

“Precisamente hace unos días tuve ocasión de experimentar la intensidad con la que obran las teorías de su padre sobre una naturaleza congenial. Al visitar a Einstein en Berlín le expuse el clásico procedimiento con el que su padre ha demostrado la imposibilidad de “enumerar” los números irracionales, etc. Y Einstein, que todo lo capta enseguida, estaba totalmente subyugado por lo magnífico de esos pensamientos”.

Las ideas de Cantor no tardaron en provocar el enfrentamiento con otros matemáticos. El más conocido se dio con Leopold Kronecker, quien pasó de ser un gran apoyo en su juventud a tornarse su mayor enemigo.

Kronecker se había convertido en partidario radical del constructivismo en matemáticas, mientras Cantor se había ido desviando más y más de aquella posición: había comenzado la disputa sobre los fundamentos de la matemática.

Llorenç Unió Puig
Barcelona, a 1 de septiembre de 2016

Fuentes:

  • Célebres pensadores judíos en la civilización occidental. Gustavo Daniel Perednik. Universidad Ort Uruguay. 2005
  • Georg Cantor. Sistema de números y conjuntos. Carlos Gómez Bermúdez. Universidade da Coruña. 2009
  • Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta. José Ferreirós. Crítica. Fundación Iberdrola. 2006
  • La Cábala. Julio Peradejordi. Ediciones Obelisco. 2005
  • La Cábala práctica. Una guía a la sabiduría judía para la vida diaria. Rabbi Laibl Wolf. Ediciones Obelisco. 2013
  • Sod 22. El secreto. Los fundamentos de la Cábala y la tradición mística del judaísmo. Mario Javier Sabán. 2011

 

Traducción al catalán:

Àlef i transfinits

Per Llorenç Unió Puig.

El valor numèric d´Àlef (א) és u. És la primera lletra de l´alfabet hebreu, fet que ha merescut molts comentaris. Inclús se n´ha dit, ja que és anterior a la Bet (ב), que “precedeix a la Torà”. Recordem que la lletra Bet (ב) és la primera lletra de la Torà (Pentateuc o Cinc Llibres de Moisès).

Representa al Déu etern. La seva energia és intemporal, i es troba més enllà de tota mesura. És l´infinit.

Els cabalistes la consideren com l´arrel espiritual de les altres lletres, com si contingués a la seva essència tot l´alfabet.

Al camp de les matemàtiques, la majoria dels matemàtics utilitzen lletres llatines o gregues per als seus desenvolupaments, fórmules i càlculs. Malgrat això, Georg Cantor – creador de la Teoria de Conjunts- va utilitzar una lletra de l´alfabet hebreu per designar un nou concepte.

Mitjançant la lletra Àlef (א), va definir el concepte de א0, “Àlef sub zero” o primer nombre cardinal transfinit. Aquest concepte descriu el tamany de determinats conjunts infinits, com por exemple el conjunt de tots els nombres parells, i el conjunt de tots els nombres senars.

De fet, una de les principals innovacions del matemàtic va consistir en observar que existeixen conjunts infinits de diferents tamanys i procedir al seu estudi. És a dir, va mostrar que existeixen diferents graus d´infinitud.

Sens dubte, atrevir-se a comptar o enumerar allò infinit va suposar un pas revolucionari, amb grans implicacions matemàtiques, filosòfiques i fins i tot teològiques.

En una carta al també matemàtic alemany Felix Klein, Cantor explica l´elecció de la lletra Àlef (א) per al seu estudi de l´infinit:

“Fa anys que considero imprescindible, fixar per mitjà de signes les potències o nombres cardinals transfinits, i per això després de moltes vacil·lacions, he pres la primera lletra de l´alfabet hebreu Àlef. Confio en que el públic s´hi familiaritzi aviat…I així he escollit finalment Àlef que en hebreu té el valor numèric u."

Georg Cantor va néixer a Sant Petersburg (Rússia) al 1849. Fill d´un comerciant d´origen danès. La seva mare era d´origen rus-alemany, molt aficionada a l´art i a la música. Als onze anys la família es trasllada a Frankfurt.

Els seus estudis universitaris, iniciats a Zurich, foren completats a Berlín, on fou alumne, entre d´altres, de Karl Weirstraß i Leopold Kronecker. Va iniciar la seva carrera docent a Halle.

Al 1874, Georg es va casar amb Vally Guttman, una dona de grans inclinacions artístiques. Amb ella va tenir sis fills, quatre nenes i dos nens.

La personalitat de Cantor era sorprenent: un home de gran intensitat, molt intel·ligent, d´aficions variades, a qui el rigor matemàtic no frenar la seva llibertat de pensament ni les seves ànsies especulatives. També es va interessar per la religió.

Ja en els seus anys d´estudiant sentia passió per la metafísica, sobretot per la del filòsof racionalista Baruch Spinoza. Segons Spinoza la realitat sencera està farcida d´infinit, tota la realitat està formada d´infinit i tot fenòmen real és la manifestació d´una única substància real.

De la genialitat de Cantor en parlen molts autors, per exemple David Hilbert, un altre destacat matemàtic (mestre de Norbert Wiener). En una anècdota que oferí a la filla de Cantor, poc desprès de la seva mort afirmà:

“Precisament fa uns dies vaig tenir l´ocasió d´experimentar la intensitat i la naturalesa congenial de les teories del seu pare. Al visitar Einstein a Berlín li vaig exposar el clàssic procediment amb el que el seu pare ha demostrat la impossibilitat d´“enumerar” els nombres irracionals, etc. I Einstein, que tot ho capta de seguida, estava totalment sorprès per com n´eren de magnífics aquests pensaments”.

Les idees de Cantor no van trigar en provocar l´enfrontament amb altres matemàtics. El més conegut es va donar amb Leopold Kronecker, qui va passar de ser un gran recolzament a la seva joventut a tornar-se el seu més gran enemic.

Kronecker s´havia convertit en partidari radical del constructivisme en matemàtiques, mentre que Cantor s´havia anat desviant més i més d´aquella posició: havia començat la disputa sobre els fonaments de la matemàtica.

Llorenç Unió Puig
Barcelona, a 1 de setembre de 2016

Fonts:

  • Célebres pensadores judíos en la civilización occidental. Gustavo Daniel Perednik. Universidad Ort Uruguay. 2005
  • Georg Cantor. Sistema de números y conjuntos. Carlos Gómez Bermúdez. Universidade da Coruña. 2009
  • Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta. José Ferreirós. Crítica. Fundación Iberdrola. 2006
  • La Cábala. Julio Peradejordi. Ediciones Obelisco. 2005
  • La Cábala práctica. Una guía a la sabiduría judía para la vida diaria. Rabbi Laibl Wolf. Ediciones Obelisco. 2013
  • Sod 22. El secreto. Los fundamentos de la Cábala y la tradición mística del judaísmo. Mario Javier Sabán. 2011