Matrices de Hadamard

 

Por Llorenç Unió Puig (Tarbut Barcelona)

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) fue un matemático nacido en Versailles (Francia). A lo largo de su vida conoció lo mejor y lo peor que le puede suceder a una persona. Por un lado conoció personalmente o por correspondencia a algunas de las personas que desde el punto de vista creativo aportaron más a la humanidad en su época. Del lado contrario vio morir a tres de sus cinco hijos en las guerras que devastaron Europa en la primera mitad del siglo XX. Pierre, su hijo varón mayor, moriría en el año 1916 durante la primera guerra mundial en la batalla de Verdún (Francia) y en el mismo lugar fallecería unos meses después su siguiente hijo, Étienne.

En 1944, durante la segunda guerra mundial, fallecería su hijo Mathieu en la región de Tripolitania (actual Libia), luchando junto a las tropas del ejército francés libre del general de Gaulle.

Los antepasados de Jacques Hadamard procedían de Metz (Francia). Su referencia más antigua aparece en un asunto judicial sucedido en 1715, en el ámbito de unas disputas comerciales.

El propio apellido Hadamard parece derivar del pueblo Hadamar, ubicado en el Land de Hessen (Alemania).

Algunos de sus antepasados fueron: Nathan Mayer Hadamard comerciante que representaba a los judíos de Metz en París y fallecido en 1770. Ephraïm Hadamard (1787-1854), su abuelo, fue un editor e impresor famoso en la misma ciudad. En su época los trabajos de impresión de literatura hebrea habían prácticamente cesado en Metz, y los libros litúrgicos y educativos de su numerosa comunidad judía se traían del extranjero.

Tras unos años de aprendizaje en talleres de impresión de Francia, Alemania y Holanda, de regreso a su ciudad compró una antigua imprenta. En ella se imprimieron con éxito numerosos libros en hebreo, francés y alemán.

Uno de sus tíos, David Hadamard (1821-1849) fue un notable arabista, alcanzando un puesto de profesor de árabe en Oran (Algeria). Su tío Auguste Hadamard (1823-1886) fue un famoso pintor.

Está claro que su familia tenía una gran tradición cultural. Su padre Amédee (1828-1888) obtuvo el título de profesor y ejerció en diversos lycées y collèges franceses. Al inicio de su carrera solía cambiar frecuentemente de puesto de trabajo, no permaneciendo más de tres años en el mismo centro educativo. Enseñó lenguas clásicas, gramática francesa, geografía e incluso aritmética elemental. En 1864 se casó con Claire Marie Jeanne Picard, madre de Jacques. Era catorce años más joven que él. La joven pareja se trasladó a Versailles, donde nació Jacques, su primer hijo. Tuvieron una hija, Suzanne Jeanne, que falleció a los tres años de edad. Un año después nace Germaine.

Jacques aprendió de muy pequeño a tocar el violín. Años después Albert Einstein tocaría este instrumento en su hogar. Gracias a su madre disfrutó de una intensa educación musical, mientras que su hermana fue profesora de piano, encontrándose entre sus alumnos el matemático Laurent Schwartz. También desarrolló a temprana edad una gran pasión por la lectura.

Paradójicamente, durante algunos cursos no tuvo demasiado interés por las matemáticas, y era o bien el último o de los últimos alumnos de la clase en esta disciplina.

En 1875 su padre pasa a ser profesor en el prestigioso centro educativo Lycée Louis-le-Grand de París. Un año después Jacques ingresa en él. Se trataba del más antiguo de Francia, fundado en 1563. Entre sus antiguos alumnos se encontraban Charles Baudelaire, Antoine Henri Becquerel, Émile Borel, Cyrano de Bergerac, Edgar Degas, Eugène Delacroix, Émile Durkheim, Évariste Galois, Charles Hermite, Victor Hugo, Jean Jaurès, marqués de La Fayette, Henri Léon Lebesgue, Molière, Paul Painlevé, Raymond Poincaré, Louis Poinsot, el Duque de Richelieu, Maximilien Robespierre, el Marqués de Sade y Voltaire.

En 1884, con 18 años, Hadamard realiza los exámenes de acceso para la École Polytechnique y para el Departamento de Ciencias de la École Normale Supérieure, ambas situadas en París. Solicitar acceso a ambas escuelas a la vez era una práctica común en la época y aquellos que eran aceptados solían acabar siendo funcionarios y recibiendo grandes salarios.

La École Polytechnique fue fundada en 1794 para formar ingenieros militares y oficiales del ejército. Entonces se encontraba en el mismo centro de París. Se transformó en una institución de gran prestigio, por la calidad de sus profesores, rígida disciplina, dificultad de sus exámenes y libros de texto de excelente calidad.

Durante mucho tiempo fue la institución educativa de más prestigio en Francia y tuvo la reputación de ser el mejor centro de enseñanza de matemáticas del mundo.

En ella fueron profesores entre otros: André-Marie Ampère, Augustin Louis Cauchy, Joseph Fourier, Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon Laplace, Adrien-Marie Legendre, Gaspard Monge, Siméon Denis Poisson y Jean-Victor Poncelet. Con los años la École Normale Superieure la fue superando en prestigio.

Era extremadamente difícil acceder a ambas escuelas. En la década de 1880, por ejemplo, más de mil candidatos solicitaban una de las cuarenta y cinco plazas de la École Normale Superiéure, aproximadamente veinte plazas para la sección de ciencias y el resto para la sección de humanidades.

Hadamard entró en ambas escuelas quedando el primero. Batió el récord histórico de puntuación conseguida hasta entonces para el acceso a la École Polytechnique: 1834 puntos sobre un máximo posible de 2000. Finalmente escogió la École Normal. En ella también fue docente desde 1912 hasta su jubilación en 1935.

Su tesis doctoral Essai sur l´étude des fonctions données par leur développment de Taylor (1892) se enmarca en la disciplina matemática del cálculo infinitesimal.

En 1892 se casa con Louise-Anna Trénel, su único amor y compañera de por vida. Se conocían desde la infancia ya que sus madres eran amigas. Su padre, Isaac Trénel, era director del Seminaire Israelite de Francia, y descendiente de una antigua familia judía con raíces en Metz, como los Hadamard.

Al año siguiente se mudan a Burdeos, donde obtiene un puesto de profesor de astronomía y mecánica racional.

A partir de aquí comienza una intensa carrera en la que conoce y se relaciona con científicos e intelectuales de su época como Vito Volterra, Laurent Schwartz, Norbert Wiener, Paul Lévy, Jesse Douglas, Nikolai Luzin, Dimitri Menshov, Henri Lebesgue, Szolem Mandelbrojt (tío de Benoît Mandelbrot), I.G. Petrovsky, S.G. Miklin, A.N. Krylov, L.V. Kantorovich, S.L. Sobolev, G.D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov y Hua Loo-Keng.

Los trabajos e investigaciones de Hadamard se extendieron a un gran número de campos de las matemáticas y la física como: geometría diferencial, calculo variacional, teoría de funciones analíticas, teoría de números, mecánica analítica y geometría, elasticidad e hidrodinámica y ecuaciones diferenciales parciales. En su libro “La psicología de la invención en el campo matemático”, publicado en 1945, realizó estudios psicológicos de personas creativas en las matemáticas y en la física. En él se encuentra una carta de Albert Einstein donde proporciona una descripción de su proceso creativo.

Participó en la defensa del capitán del ejército francés Alfred Dreyfus, quien había sido falsamente acusado de espionaje a partir de unos sucesos ocurridos en 1894. Hadamard tuvo una implicación especial ya que era primo lejano de Lucie, la esposa de Dreyfus. Precisamente a partir de este caso se crea la Ligue des Droits de l´Homme, en 1898, y Hadamard será durante 60 años miembro de su comité central. Esta institución aún existe en la actualidad.

Hadamard participó en varios asuntos de la Universidad Hebrea de Jerusalén, inaugurada el día 1 de abril de 1925. La Universidad era administrada por una Junta encabezada por Chaim Weizmann, a la que Hadamard se unió en septiembre de 1925, junto al físico Albert Einstein, el filósofo Martin Buber, el psiquiatra Sigmund Freud, y el matemático Edmund Landau, entre otros.

En 1941 se refugia en los Estados Unidos de América, para después regresar a Inglaterra donde pasa a realizar investigaciones para RAF (Real Fuerza Aérea del Reino Unido).

 

En matemáticas hay conceptos que se asocian al nombre de la persona que los descubrió, como por ejemplo: teorema de Pitágoras, espacio de Hilbert, símbolo de Levi-Civita o prueba de Kolmogórov-Smirnoff.

Así, en nuestro caso, hallamos un gran número de conceptos o herramientas matemáticas: transformada de Hadamard, teorema de Cauchy-Hadamard, código de Hadamard, matrices de Hadamard, etc.

 

Vamos a examinar brevemente este último concepto.

 

Las matrices, en matemáticas, son conjuntos de números – y a veces de letras o la combinación de ambos - que habitualmente se agrupan en filas y en columnas. Son herramientas que se usan en diferentes ámbitos, desde la matemática abstracta hasta la ingeniería aplicada. Por ejemplo se pueden utilizar en el cálculo de la totalidad o partes de la estructura de edificios, puentes y aviones.

Existen muchos tipos de matrices, y se pueden clasificar o denominar según múltiples criterios, por ejemplo su tamaño o sus propiedades matemáticas.

Una matriz de Hadamard es una matriz que tiene propiedades especiales. Sus  números, así como su posición en el conjunto de la matriz, no pueden ser cualesquiera. En primer lugar una matriz de Hadamard debe tener el mismo número de filas y columnas. Otra de sus muchas propiedades es que los números sólo pueden tomar el valor de 1 o -1. Evidentemente no todas las matrices formadas por valores 1 y -1 son matrices de Hadamard ya que deben cumplir más propiedades.

Un ejemplo práctico del uso de las matrices de Hadamard se halla en el campo de la teoría de la información, utilizada en telecomunicaciones. En las imágenes aparecen algunos ejemplos de matrices para ilustrar lo expuesto.

Bibliografía:

● Encyclopedia Judaica

● Hadamard Matrices and their applications. Lecture notes in mathematics. S.S. Agaian. Springer-Verlag. 1985 (Matrices de Hadamard y sus aplicaciones)

● Jacques Hadamard, An universal mathematician. Vladimir Maz’ya, Tatyana Shaposhnikova. History of Mathematics. American Mathematical Society. 1991 (Jacques Hadamard, Un matemático universal)

The psychology of invention in the mathematical field. Jacques Hadamard. Princeton University Press. 1996 (La psicología de la invención en el campo matemático)

Barcelona, a 18 de Julio de 2018