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Símbolo de Levi-Civita

 

Por Llorenç Unió Puig (Tarbut Barcelona)

Tullio Alessandro Levi-Civita (1873- 1941) fue un matemático nacido en Padua (Italia).  Se le conoce principalmente por su contribución a la disciplina matemática del Cálculo diferencial absoluto y a las aportaciones en la formulación de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein.

Fue hijo de Giacommo Levi-Civita (hijo de Abramino Levi y Rachele Civita) y Bice Lattis. Su padre era abogado, jurista y político, y durante muchos años fue alcalde de Padua y senador del Reino de Italia. Deseaba que su hijo siguiera sus pasos como abogado, pero Tullio, desde muy temprana edad mostró interés por la física y las matemáticas.

A los diez años ingresó en el Liceo-Ginnaso Tito Livio donde también había estudiado su padre. Se trataba de una de las más antiguas y más prestigiosas escuelas de Padua. Hasta entonces había tenido un tutor privado, Luigi Padrin, un erudito sacerdote.

Cuando completó sus estudios a la edad de diecisiete años, se matriculó en la facultad de ciencias de la universidad de Padua como estudiante de matemáticas, y cuatro años después se graduó.

Entre sus profesores universitarios se encontraban Francesco D´Arcais, Ernesto Padova, Giuseppe Veronese y Gregorio Ricci-Curbastro. Se considera que junto a este último desarrolló el cálculo diferencial absoluto o cálculo tensorial. Se trata de una potente herramienta matemática que se mostró fundamental para Albert Einstein en su planteamiento, en 1916, de la teoría general de la relatividad.

A los veinticinco años fue nombrado profesor de Mecánica en la Universidad de Padua. Se mantuvo en el puesto durante veinte años. En 1918 pasó a ser profesor de Universidad de Roma donde primero enseñó Análisis Superior y posteriormente Mecánica Racional. Fue docente en esta universidad durante veinte años, hasta que las leyes antijudías introducidas en Italia en 1938 provocaron que fuera expulsado de su puesto.

Sus trabajos abarcaron muchos campos de las matemáticas y la física, entre otros: dinámica analítica, electromagnetismo, hidrodinámica, mecánica celeste, sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, teoría del calor y teoría de la relatividad.

Sus principales hobbies fueron el montañismo, el ciclismo y viajar. Tenía un gran vínculo afectivo con sus padres.

En 1914 se casó con Libera Trevisani. Había sido su alumna en la Universidad de Padua. Acompañó a su esposo en muchos de sus viajes, principalmente debidos a motivos profesionales. No tuvieron hijos.

Fue una persona con una clara visión internacional, especialmente en una época en que Europa trataba de cerrar las heridas de la primera guerra mundial.

Destaca su correspondencia con Albert Einstein. El día 2 de abril de 1915 éste le escribe al profesor italiano, “…nunca había tenido una correspondencia tan interesante. Debería saber con qué ansia espero sus cartas…” 

Ambos se conocieron en el IV Congreso Internacional de Matemáticos de Roma, en 1908. Les presentó el físico Max Abraham (1875-1922).

En septiembre de 1938 el gobierno italiano dictó leyes para despedir de sus empleos a los profesores judíos. Levi-Civita fue desprovisto de todo aquello que hacía la vida interesante para él. Su salud empezó a debilitarse. Sus doctores le prohibieron viajar al extranjero por lo que no pudo aceptar alguna oferta de asilo de numerosas universidades extranjeras. El resto de los años de su vida los pasó en su hogar, sin capacidad para continuar su trabajo. Murió el día 29 de diciembre de 1941.

Muchos italianos sufrieron este tipo de tratos, aunque para centrarnos en el ámbito del artículo (judíos italianos profesores universitarios del campo de las matemáticas y la física) se citan los siguientes:

  • ● Guido Ascoli, profesor de Análisis, Universidad de Milán
  • ● Ettore del Vecchio, profesor de Matemáticas para la economía, Universidad de Trieste
  • ● Federigo Enriques, profesor de Geometría superior, Universidad de Roma
  • ● Guino Fano, profesor de Geometría, Universidad de Turín
  • ● Guido Fubini Ghiron, profesor de Análisis, Politécnico de Turín
  • ● Guido Horn d´Arturo, profesor de Astronomía, Universidad de Bolonia
  • ● Beppo Levi, profesor de Análisis, Universidad de Bolonia
  • ● Arturo Maroni, profesor de Geometría, Universidad de Pavía
  • ● Giorgio Mortara, profesor de Estadística, Universidad de Milán
  • ● Beniamino Segre, profesor de Geometría, Universidad de Bolonia
  • ● Alessandro Terracini, profesor de Geometría, Universidad de Turín
  • ● Alberto Mario Bedarida, profesor de Análisis algebraico, Universidad de Génova
  • ● Giulio Bemporad, profesor de Astronomía, Universidad de Turín
  • ● Bonaparte Colombo, profesor de Análisis infinitesimal, Universidad de Turín
  • ● Bruno Tedeschi, profesor de Matemática financiera, Universidad de Trieste

De manera no académica y muy simplificada se puede afirmar que un tensor (en el ámbito de la física y las matemáticas) es una herramienta que expresa unas propiedades físicas o matemáticas de manera independiente a los sistemas de referencia (sistemas de coordenadas). No sólo se utilizan en la teoría de la relatividad, sino también en otros campos de estudio como por ejemplo el estudio de la deformación de materiales o el movimiento de fluidos.

El símbolo de Levi-Civita se encuentra dentro del ámbito del cálculo tensorial. De forma sencilla se puede afirmar que se trata de una herramienta matemática que toma tres valores diferentes: 1, 0 o -1 en función de la posición de unos elementos (índices, asociados a dimensiones) que lo definen.

Para visualizar su funcionamiento se considera el caso de tres índices (tres dimensiones) y se obtiene:

εi,j,k (Símbolo de Levi-Civita)

 

valor de los índices

valor del Símbolo de Levi-Civita

(1,2,3)

(2,3,1)

(3,1,2)

1

(3,2,1)

(1,3,2)

(2,1,3)

-1

si dos o más índices tienen el mismo valor

por ejemplo

(1,1,2)

(2,2,1)

0

También se puede escribir la anterior tabla como sigue:

ε1,2,3=1   ε2,3,1=1   ε3,1,2=1   ε3,2,1=-1   ε1,3,2=-1   ε2,1,3=-1   ε1,1,2=0   ε2,2,1=0

Se considera su obra fundamental el libro “El cálculo fundamental absoluto” publicado por primera vez en 1925 en italiano. En su prólogo Levi-Civita reconoce como base fundamental de su trabajo la labor de los matemáticos alemanes Bernard Riemann (1826-1866), Elwin Bruno Christoffel (1829-1900) y la de su profesor, el italiano Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925).

A nivel informativo, la estructura de la obra es la siguiente:

Parte 1- Teorías introductorias

Capítulo I Determinantes funcionales y matrices

Capítulo II Sistemas de ecuaciones diferenciales totales

Capítulo III Sistemas completos de ecuaciones diferenciales lineales parciales

Capítulo IV Fundamentos algebraicos del cálculo diferencial absoluto

Capítulo V Introducción geométrica a la teoría de formas cuadráticas diferenciales


Parte 2- La forma cuadrática fundamental y el cálculo diferencial absoluto

Capítulo VI Diferenciación covariante, invariantes y parámetros diferenciales, coordenadas geodésicas locales

Capítulo VII Símbolos de Riemann y propiedades relativas a la curvatura, símbolos de Ricci y de Einstein; desviación geodésica

Capítulo VIII Relación entre dos métricas diferentes referidas a los mismos parámetros, variedades de curvatura constante

Capítulo IX Formas cuadráticas diferenciales de clase cero y clase uno

Capítulo X Algunas aplicaciones de la geometría intrínseca

Parte 3 Aplicaciones físicas

Capítulo XI Evolución de la mecánica y de la óptica geométrica; su relación con el mundo de cuatro dimensiones según Einstein

Capítulo XII Las ecuaciones gravitacionales y la relatividad general

Bibliografía:

  • Einstein´s italian mathematicians (Ricci, Levi-Civita, and the birth of general relativity). (Los matemáticos italianos de Einstein (Ricci, Levi-Civita y el nacimiento de la relatividad general)). Judith R. Goodstein. American Mathematical Society (USA). 2018
  • Encyclopedia Judaica
  • Italian mathematics between the two world wars. (Matemáticos italianos entre las dos guerras mundiales).  Angelo Guerraggio, Pietro Nastasi. Birkhäuser Verlag (Basel-Boston-Berlin). 2006
  • The absolute differential calculus (Calculus of tensors). El cálculo diferencial absoluto (Cálculo de tensores). Tullio Levi-Civita. Dover Publications, Inc. New York (1977) (obra original en italiano, Roma, 1925)


Barcelona,  junio de 2019