Reseñas libros

Libro de geometría de Abraham Bar Hiyya

llibre de geometriaLibro de Geometría, Hibbur ha-meshihah we-ha-tishboret (Tratado sobre medida y cálculo), libro de Abraham Bar Hiyya. Reseña de Llorenç Unió Puig.

Abraham Bar Hiyya fue un astrónomo, filósofo, matemático y traductor que vivió en Barcelona entre los siglos XI y XII. Tanto la fecha exacta de su nacimiento como de su muerte son confusas. Fue autor de diversos tratados y de numerosas obras matemáticas y de astronomía que contribuyeron a la difusión de la ciencia arábiga en el mundo occidental. Su obra más famosa es la que aquí tratamos, Hibbur ha-meshihah we-ha-tishboret (Tratado sobre medida y cálculos), traducida al latín con el título Liber Embadorum (1145), y que alcanzó gran reconocimiento por su novedoso tratamiento de las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Estas ecuaciones son las del tipo:

ax2 + bx + c =0

(donde a, b y c son valores numéricos conocidos y x es el valor numérico a determinar para que se cumpla la ecuación)

Cabe destacar que el libro ejerció una gran influencia sobre el conocido matemático Leonardo Fibonacci.

Abraham Bar Hiyya, utilizó el enorme caudal científico que el mundo musulmán ofrecía en aquella época y, a parte de crear sus propias obras, se presentó también como traductor de obras del árabe, y como colaborador de los primeros traductores a la versión de obras del árabe al latín, especialmente Platón de Tívoli, científico que también vivió en Barcelona y que probablemente era de origen italiano.

Esta ciencia musulmana procedía de escuelas y academias de Bagdad, Damasco, Harran, y de otras ciudades de Oriente.

Abraham Bar Hiyya, quien vivió en tierras de Cataluña y Provenza, consiguió aprovechar toda la corriente de conocimiento que venía del mundo musulmán, para componer esta obra, destinada a ser una guía técnica en cuestiones de geometría. Fue principalmente el gran desnivel de las dos culturas, la musulmana y la de las tierras cristianas, la que le impulsó a llevar a cabo este trabajo.

La obra, sin olvidar su parte científica de demostraciones y teoremas, se enfoca preferentemente a la parte técnica de la medición de tierras, escandalizado, nuestro autor, por los errores que los expertos y agrimensores cometían al medir.

El libro es básicamente un manual práctico para agrimensores, es decir, personas que se dedicaban a asuntos de partición de tierras, donde existe también relación entre compras y ventas, herencias y otras adquisiciones. En el prólogo del libro, el autor se queja de los vicios de medida que se practicaban en su tiempo, así como de los fraudes.

En este sentido, el autor escribe «yo he visto que la mayor parte de los sabios contemporáneos de la tierra de Francia no están instruidos en la medida de tierras ni son expertos en su partición, y por lo tanto se confunden a menudo y dividen los terrenos entre los herederos con inexactitud, con lo cual pecan, al causar perturbación».

También explica «no se debe medir en día soleado y luego en día de lluvia, ya que la cuerda se alarga en días de lluvia y se contrae en días de sol».

Uno de los elementos más sorprendentes de la obra es que el autor evita constantemente la medida de ángulos. Sin embargo, ello parece coherente con la forma de medir tierras típica de la época, ya que los agrimensores no utilizaban instrumentos para medir ángulos sino que medían longitudes.

El agrimensor no solía emplear en aquellos tiempos otros instrumentos que la caña o la cuerda, y es por ello que Bar Hiyya procura que todos sus cálculos sean establecidos únicamente a base de medida de longitudes. Por ese motivo, a menudo debe seguir un procedimiento más largo del que habría hecho falta emplear mediante la medida de ángulos para realizar sus cálculos y demostraciones.

Este hecho es muy evidente a primera vista al leer el libro. Si observamos los desarrollos matemáticos del texto vemos que son menos sencillos de leer que en libros de geometría más modernos. Estos últimos, en la medida de lo posible, utilizan las razones trigonométricas de los ángulos (seno, coseno, tangente y otras) que economizan mucho el desarrollo y la comprensión de las fórmulas.

Por otro lado, a pesar de tratarse de un libro técnico, en él aparecen múltiples citas correspondientes a libros religiosos como por ejemplo: Crónicas, Deuteronomio, Isaias, Levítico, Números,    Proverbios, Reyes, Salmos y el Talmud de Babilonia.

La obra se encuentra dividida en cuatro capítulos.

Capítulo I

Exposición de postulados y definiciones; esencia de la geometría; punto, recta, superficie, cuerpo; el ángulo y sus clases; las rectas correlativas; diagonal y diámetro; el círculo y sus partes, el triángulo, el cuadrilátero, los polígonos y las operaciones aritméticas.

Capítulo II

Medida de las superficies y cálculos que se desprenden. Medida del paralelogramo. Teoremas y cuestiones referidos (Teorema de Pitágoras). Resolución de ecuaciones de segundo grado, por medio de teoremas geométricos, junto con problemas y ejemplos. Cálculo del triángulo. Cálculo de los cuadriláteros. El círculo. Cuerdas y arcos.

Capítulo III

Todo el capítulo trata de la división de los terrenos. Lo más interesante de este capítulo es que el autor lo deriva de un libro de Euclides, hoy desaparecido, y por ello el libro merece una especial atención a los historiadores de la geometría.

Capítulo IV

Está dedicado a la medida de los cuerpos; se caracteriza por la concisión del estilo y la omisión de demostraciones demasiado difíciles.

Llorenç Unió Puig
Barcelona, a 3 de noviembre de 2015

  • Libro de Geometría (Hibbur ha-meshihah we-ha-tishboret). Abraham Bar Hiyya. Colección Biblioteca Hebraico-Catalana. Traducción del hebreo al catalán: Josep Maria Millàs i Vallicrosa. Editorial Alpha, Barcelona, 1931, 152 p.
  • Otras fuentes: Encyclopedia Judaica

 


Llibre de Geometria

Llibre de Geometria, Hibbur ha-meshihah we-ha-tishboret (Tractat sobre mesurament i càlcul) de Abraham Bar Hiyya. Ressenya per Llorenç Unió Puig.

Abraham Bar Hiyya fou un astrònom, filòsof, matemàtic i traductor que visqué a Barcelona entre els segles XI y XII. Tant la data exacta del seu naixement com de la seva mort són confuses. Fou autor de diversos tractats i de nombroses obres matemàtiques i d´astronomia que varen contribuir a la difusió de la ciència aràbiga al món occidental.

La seva obra més famosa és la que aquí tractem, Hibbur ha-meshihah we-ha-tishboret “Tractat sobre mesurament i càlcul”, traduïda al llatí amb el títol Liber Embadorum (1145), i que assolí gran reconeixement pel seu novedós tractament de les solucions de las equacions de segon grau. Aquestes són les del tipus:

ax2 + bx + c =0

(on a, b i c són valors numèrics coneguts i x és el valor numèric a determinar perquè s´acompleixi l´equació)

Cal destacar que el llibre va exercir una gran influència sobre el conegut matemàtic Leonardo Fibonacci.

Abraham Bar Hiyya, va utilitzar l´enorme cabal científic que el món musulmà oferia en aquella època i, a part de crear les seves pròpies obres, es va presentar també com traductor d´obres de l´ àrab, i com a col·laborador dels primers traductors a la versió d´ obres de l´àrab al llatí, especialment Plató de Tívoli, científic que també va viure a Barcelona i que probablement era d´origen italià.

Aquesta ciència musulmana procedia d´escoles i acadèmies de Bagdad, Damasc, Harran, i d´altres ciutats d´Orient.

Abraham Bar Hiyya, qui visqué en terres de Catalunya i Provença, va aconseguir aprofitar tot el corrent de coneixement que venia del món musulmà, per composar aquesta obra, destinada a ser una guia tècnica en qüestions de geometria. Fou principalment el gran desnivell de les dues cultures, la musulmana i la de les terres cristianes, la que el va impulsar a dur a terme aquest treball.

L´obra, sense oblidar la seva part científica de demostracions i teoremes, s´enfoca preferentment a la part tècnica de l´amidament de terres, escandalitzat, el nostre autor, pels errors que els experts i agrimensors cometien en amidar.

El llibre és bàsicament un manual pràctic per agrimensors, és a dir, persones que es dedicaven a afers de partició de terres, on existeix també relació entre compres i vendes, herències i altres adquisicions. En el pròleg del llibre, l´autor és queixa dels vicis de mesura que es practicaven en el seu temps, així com dels fraus.

En aquest sentit, l´autor escriu «jo he vist que la major part dels savis contemporanis de la terra de França no estan instruïts en la mesura de terres ni són experts en la seva partició, i per tant es confonen sovint i divideixen els terrenys entre els hereus amb inexactitud, amb la qual cosa pequen, en causar pertorbació».

També explica «no s´ha de mesurar en dia de sol i després en dia de pluja, ja que la corda s´allarga en dies de pluja i es contrau en dies de sol».

Un dels elements més sorprenents de l´obra és que l´autor evita constantment la mesura d´angles. Malgrat això, aquest fet sembla coherent amb la forma de mesurar terres típica de l´època, ja que els agrimensors no utilizaven instruments per mesurar angles sinó que mesuraven longituts.

L´agrimensor no solia utilitzar en aquells temps altres instruments que la canya o la corda, i és per això que Bar Hiyya procura que tots els seus càlculs siguin establerts únicament a base de mesura de longituds. Per aquest motiu, sovint ha de seguir un procediment més llarg del que hauria calgut utilitzar mitjançant la mesura d´angles para realitzar els seus càlculs i demostracions.

Aquest fet és molt evident a primera vista en llegir el llibre. Si observem els desenvolupaments matemàtics del text veiem que són menys senzills de llegir que en llibres de geometria més moderns. Aquests últims, en la mesura del possible, utilitzen les raons trigonomètriques dels angles (sinus, cosinus, tangent i altres) que economitzen molt el desenvolupament i la comprensió de les fórmules.

Per altra banda, malgrat tractar-se d´un llibre tècnic, en ell apareixen múltiples cites corresponents a llibres religiosos com per exemple: Cròniques, Deuteronomi, Isaïes, Levític, Nombres, Proverbis, Reis, Salms i el Talmud de Babilònia.

L´obra es troba dividida en quatre capítols.

Capítol I

Exposició de postulats i definicions; essència de la geometria; punt, recta, superfície, cos; l´angle i les seves classes; les rectes correlatives; diagonal i diàmetre; el cercle i les seves parts, el triangle, el quadrilàter, els polígons i les operacions aritmètiques.

Capítol II

Mesura de les superfícies i càlculs que se´n desprenen. Mesura del paral·lelògram. Teoremes i qüestions referits (Teorema de Pitàgores). Resolució d´equacions de segon grau, per mitjà de teoremes geomètrics, junt amb problemes i exemples. Càlcul del triangle. Càlcul dels quadrilàters. El cercle. Cordes i arcs.

Capítol III

Tot el capítol tracta de la divisió dels terrenys. El més interessant d´aquest capítol és que l´autor el deriva d´un llibre d´Euclides, avui desaparegut, i per això el llibre mereix una especial atenció als historiadors de la geometria.

Capítol IV

Està dedicat a la mesura dels cossos; es caracteritza per la concisió de l´estil i la omisió de demostracions massa difícils.

Llorenç Unió Puig
Barcelona, a 3 de novembre de 2015

  • Llibre de Geometria (Hibbur ha-meshihah we-ha-tishboret). Abraham Bar Hiyya. Col·lecció Biblioteca Hebraico-Catalana. Traducció de l´hebreu al català: Josep Maria Millàs i Vallicrosa. Editorial Alpha, Barcelona, 1931, 152 p.
  • Altres fonts: Encyclopedia Judaica